Klasifikasi Taksonomi Bloom

 Pembagian Ranah taksonomi bloom

Dalam sejarah pengukuran dan penilaian pendidikan tercatat bahwa pada kurun waktu tahun empat puluhan , beberapa orang pakar pendidikan amerika serikat yaitu Benjamin s.Bloom  dkk. Mengembangkan suatu metode pengklasifikasian tujuan pendidikan yang disebut dengan taxonomy. Ide membuat taksonomi muncul setelah lebih kurang lima tahun mereka berkumpul mendiskusikan pengelompokan tujuan pendidikan yang pada akhirnya melahirkan sebuah karya yang berjudul “ taxonomy of educational objective (1956)”.

Dalam karya tersebut Benjamin S Bloom dkk. Berpendapat bahwa taksonomi (pengelompokan ) tujuan pendidikan itu harus senantiasa mengacu kepada tiga (3) jenis domain (ranah) yang melekat pada diri peserta didik yaitu :

·         Ranah proses berfikir ( cognitive domain )

·         Ranah nilai dan sikap ( affective domain )

·         Ranah keterampilan  ( psychomotor domain )

 Dalam konteks evaluasi hasil belajar maka, ketiga domain itulah yang harus dijadikan sasaran dalam setiap kegiatan evaluasi .

2.1 Ranah / domain kognitif

Ranah ini mecncakup kegiatan mental otak. Menurut bloom, segala upaya yang menyangkut aktivitas otak adalah termasuk dalam ranah ini. Dalam ranah kognitif ini terdapat  enam jenjang proses berfikir , mulai dari jenjang rendah sampai dengan jenjang yang paling tinggi yaitu sebagai berikut :

1.      Pengetahuan (Knowledge ) / C – 1

Berisikan kemampuan untuk mengenali dan mengingat peristilahan, definisi, fakta-fakta, gagasan, pola, urutan, metodologi, prinsip dasar, dsb. Sebagai contoh ketika seorang peserta didik disuruh untuk membahas mengenai lingkaran maka ia dapat menjelaskan mengenai tentang definisi, bagian- bagiannya dengan baik dan benar.

2.      Pemahaman ( comprehension ) / C – 2

Kemampuan seseorang untuk mengerti atau memahami sesuatu setelah sesuatu itu diketahui dan diingat. Pemahaman tersebut diperoleh dari mengetahui seperti: definisi,informasi, peristiwa, dan fakta yang kemudian disusun kembali dengan struktur kognitif yang ada.

3.      Penerapan (application ) / C – 3

Di tingkat ini, seseorang memiliki kemampuan untuk menerapkan gagasan, prosedur, metode, rumus, teori,prinsip dsb di dalamberbagai situasi. Sebagai contoh, peserta didik mampu memikirkan tentang penerapan konsep matematika dalam kehidupan sehari-hari.

4.      Analisis ( analysis ) / C – 4

Di tingkat analisis, seseorang akan mampu menganalisis informasi yang masuk dan membagi-bagi atau menstrukturkan informasi ke dalam bagian yang lebih kecil untuk mengenali pola atau hubungannya, dan mampu mengenali serta membedakan faktor penyebab dan akibat dari sebuah skenario yg rumit. Sebagai contoh, di level ini seseorang akan mampu memilah-milah materi matematika ,dan kemudian  membanding-bandingkan tingkat kesulitan materi, dan menggolongkan setiap materi sesuai dengan tingkat kesulitannya.

5.      Sintesis ( Synthesis ) / C – 5

Satu tingkat di atas analisis, seseorang di tingkat sintesa akan mampu menjelaskan struktur atau pola dari sebuah skenario yang sebelumnya tidak terlihat, dan mampu mengenali data atau informasi yang harus didapat untuk menghasilkan solusi yang dibutuhkan. Sebagai contoh, peserta didik mampu membuat sebuah karya/karangan dan dalam karangan tersebut peserta didik mampu mengemukakan secara jelas tentang karangan yang dibuatnya.

6.      Penilaian ( Evaluation ) / C – 6

Penilaian merupakan kemampuan seseorang untuk memberikan penilaian terhadap solusi, gagasan, metodologi, dsb dengan menggunakan kriteria yang cocok atau standar yg ada untuk memastikan nilai efektivitas atau manfaatnya. Sebagai contoh, seorang peserta didik dapat menimbang-nimbang tentang manfaat yang akan peroleh dari perilaku disiplin dan mampu menunjukan akibat negative dari perilaku malas.

2.2 Ranah / Domain Afektif

Ranah ini pada mula-mula dikembangkan oleh David R. Krathwohl dkk (1974). Ranah afektif adalah ranah / kawasan yang berkaitan dengan dengan aspek – aspek emosional seperti perasaan , minat, nilai dan sikap serta kepatuhan terhadap moral dan sebagainya. Ciri – ciri dari hasil belajar afektif akan tampak pada peserta didik dalam berbagai tingkah laku seperti : perhatian peserta didik dalam mengikuti pembelajaran matematika, kemudian memiliki dorongan yang kuat dalam mengikuti pelajaran tersebut serta mempunyai rasa hormat terhadap guru yang mengajar matematika tersebut.

Pada ranah afektif ini David R. Krathwohl dan kawan-kawan  (1974) membagi secara rinci mejadi 5 jenjang yaitu sebagai berikut :

1)      Penerimaan (receiving/attending)

Receiving adalah kepekaan seseorang dalam menerima rangsangan/stimulus dari luar yang datang kepada dirinya dalam bentuk masalah,situasi dan lain – lain. Receiving ini juga sering kali diartikan sebagai kemauan untuk memperhatikan suatu kegiatan atau suatu objek. Pada jenjang ini peserta didik dibina agar mereka bersedia menerima nilai-nilai  yang diajarkan kepada mereka dan mereka besedia untuk memfokuskan perhatian pada saja objek yang diajarkan. Sebagai contoh : peserta didik menyadari bahwa perbuatan menyontek itu tidak baik sehingga harus mereka tinggalkan.

2)      Sambutan (Responding)

Sambutan ini mengandung arti adanya partisipasi aktif, jadi kemampuan menanggapi adalah kemampuan yang dimiliki oleh seseorang untuk mengikut sertakan dirinya secara aktif dalam fenomena tertentu dan membuat reaksi terhadapnya. Sebagai contoh dari jenjang responding ini salah satunya yaitu timbulnya keinginan untuk mempelajari lebih dalam lagi materi matematika misalnya tentang turunan dll.

3)      Penilaian (valuing)

Valuing disini artinya memberikan nilai atau memberikan penghargaan terhadap suatu kegiatan atau objek sehingga apabila hal tersebut tidak dikerjakan dirasakan akan membawa kerugian bagi dirinya. Dalam kaitannya dengan proses belajar-mengajar ,peserta didik disini tidak hanya mau menerima nilai yang diajarkan saja tetapi ia juga mampu menilai konsep atau fenomena yaitu “baik atau buruk “ bila suatu ajaran gtelah mampu mereka nilai “itu adalah baik” maka ini berarti bahwa peserta didik telah menjalani proses penilaian dan kemudian nilai tersebut akan diingat dalam dirinya.

4)      Pengorganisasian (organization)

Organization disini artinya mempertemukan perbedaan nilai sehingga terbentuk nilai baru yang lebih universal yang membawa kepada perbaikan umum. Mengorganisasikan merupakan pengembangan dari nilai kedalam satu system organisasi, termasuk didalamnya hubungan satu nilai dengan nilai yang lain. Sebagai contoh dari hasil belajar jenjang ini adalah misalnya seorang peserta menyukai materi matematika tentang bangun ruang maka ia akan menempatkan materi bangun ruang tersebut pada tingkatan yang amat penting kemudian baru menyusul materi lain yang ia rasakan agak penting dan seterusnya.

5)      Karakterisasi ( characterization)

Karakterisasi yaitu keterpaduan semua system nilai yang telah dimiliki  seseorang yang mempengaruhi pola kepribadian dan tingkah lakunya, disini proses internalisasi nilai telah menempati tempat tertinggi dalam suatu hierarkhi nilai. Jika panda tahap pengorganisasian system nilai sudah dapat disusun maka susunan tersebut belum konsisten artinya masih dapat berubah-ubah sesuai situasi yang dihadapi maka, pada tahap ini nilai tersebut sudah tertanam secara konsisten pada system dan telah mempengaruhi emosinya. Sebagai contoh dari hasil belajar tahap ini adalah peserta didik telah memiliki kebulatan tekat yang kuat untuk menjadikan matematika sebagai mata pelajaran yang akan ditekuninya untuk meningkatkan pendidikan diindonesia.

2.3 Ranah Psikomotor

Ranah psikomotor adalah ranah yang berkaitan dengan keterampilan yang melibatkan fungsi system syaraf dan otot serta fungsi psikis. Kawasan / ranah terdiri dari :

1)      Kesiapan ( set )

Kesiapan ini berhubungan dengan kesediaan untuk melatih diri tentang keterampilan tertentu yang dinyatakan dengan usaha untuk melaporkan kehadirannya, mempersiapkan alat, menyesuaikan diri dengan situasi, menjawab pertanyaan.

2)      Peniruan ( imitation )

Meniru adalah kemampuan untuk melakukan sesuai dengan contoh yang diamati walaupun belum mengerti hakikat atau makna dari keterampilan itu. Sebagai Contoh : seorang anak yang meniru bahasa tanpa mengetahui arti yang ditirunya.

3)      Membiasakan ( habitual )

Membiasakan adalah seseorang dapat melakukan suatu keterampilan tanpa harus melihat contoh sekalipun ia belum dapat mengubah polanya.

4)      Menyesuaikan ( adaptation )

Menyesuaikan yaitu seseorang dapat melakukan modifikasi untuk disesuaikan dengan kebutuhan atau situasi tempat ketrampilan itu dilaksanakan.

5)      Menciptakan ( origination )

Dalam hal ini seseorang sudah mampu menciptakan suatu karya dengan kemampuannya atau keterampilannya sendiri.
 sumber referensi :

1.                                       http://fisikasma-online.blogspot.com/2011/10/taksonomi-bloom-ranah-kognitif.html

2.                                       Prof.drs. Sudijono Anas ,2007. pengantar evaluasi pendidikan, Jakarta:PT rajagrafindo persada.

3.                                       http://id.wikipedia.org/wiki/ Taksonomi_Bloom.html

Taksonomi media menurut ahli

Taksonomi / klasifikasi Media

            Dalam pengertian teknologi pendidikan, media atau bahan sebagai sumber belajar merupakan komponen dari sistem instrusional di samping pesan, orang, teknik dan peralatan. Dari usaha penantaan yang timbul yaitu pengelompokan atau klasifikasi menurut kesamaan atau karakteristiknya.
Beberapa contoh usaha ke arah taksonomi media tersebut antara lain :
1)Taksonomi menurut Rudy Bretz

            Bertz mengidentifikasikan ciri utama dari media menjadi tiga unsur pokok, yaitu : suara, visual dan gerak. Visual dibedakan menjadi tiga yaitu garis ( line graphic ) dan simbol yang merupakan suatu kontinum dari bentuk yang dapat ditangkap dengan indra penglihatan. Bretz juga membedakan antara media siar ( telecommunication ) dan media rekam ( recording ) sehingga terdapat 8 klasifikasi media, yaitu :

      Media audiovisual gerak
       Media audiovisual diam
       Media audio semi-gerak
       Media visual gerak
       Media visual diam
       Media semi-gerak
       Media audio
       Media cetak

2) Hirarki media menurut Duncan

             Dalam penyusunan taksonomi media menurut hirarki pemanfaatan untuk pendidikan, Duncan ingin mensejajarkan biaya investasi, kelangkaan dan keluasan lingkup sasarannya disatu pihak dan kemudahan pengadaan serta penggunaan, keterbatasan lingkup sasaran dan rendahnya biaya di lain pihak dengan tingkat kerumitan perangkat medianya dalam satu hirarki.

3) Taksonomi menurut Briggs

Briggs mengidentifikasi 13 macam media yang dipergunakan dalam proses belajar mengajar, yaitu :

        Obyek
        Model
        Suara langsung
        Rekaman audio
        Media cetak
        Pembelajaran terprogram
        Papan tulis
        Media transparansi
        Film rangkai
        Film bingkai
        Film
        Televisi
        Gambar

4) Taksonomi menurut Gagne

             dalam taksonominya gagne mengelompokan media menjadi 7 macam yaitu sebagai berikut :

Ø   Benda untuk didemontrasikan
Ø   Komunikasi lisan
Ø   Media cetak
Ø   Gambar diam
Ø   Gambra gerak
Ø   Film bersuara
Ø   Mesin belajar

5) Taksonomi menurut Edling

              Menurut Edling media merupakan bagian dari enam unsur rangsangan belajar, yaitu dua untuk pengalaman audio meliputi kodifikasi subyektif visual dam kodifikasi obyektif audio, dua untuk pengalaman visual meliputi kodifikasi obyektif audio dan kodifikasi obyektif visual dan dua pengalaman belajar 3 dimensi meliputi pengalaman langsung dengan orang dan pengalaman langsung dengan benda-benda.

6) Pengelompokan menurut Schramm ( 1977 )

             Schramm membedakan/mengelompokan media menjadi media rumit dan mahal ( big media ) dan media sederhana dan murah ( little media ). Ia juga mengelompokan media menurut daya liputnya menjadi media massal, media kelompok dan media individual.

7) Pengelompokan menurut Allen

               Dalam taksonominya Allen berusaha menghubungkan fungsi media dengan tujuan belajar yang hendak dicapai.

sumber : www.mtkstkip.co.cc dan sumber lain yang mendukung 

------------------ semoga bermanfaat -----------------------------

Pengertian Evaluasi Menurut Para Ahli

Pengertian Evaluasi

Evaluasi merupakan bagian dari sistem manajemen yaitu perencanaan, organisasi, pelaksanaan, monitoring dan evaluasi. Tanpa evaluasi, maka tidak akan diketahui bagaimana kondisi objek evaluasi tersebut dalam rancangan, pelaksanaan serta hasilnya. Istilah evaluasi sudah menjadi kosa kata dalam bahasa Indonesia, akan tetapi kata ini adalah kata serapan dari bahasa Inggris yaitu evaluation yang berarti penilaian atau penaksiran (Echols dan Shadily, 2000 : 220). Sedangkan menurut pengertian istilah “evaluasi merupakan kegiatan yang terencana untuk mengetahui keadaan sesuatu obyek dengan menggunakan instrumen dan hasilnya dibandingkan dengan tolak ukur untuk memperoleh kesimpulan” (Yunanda : 2009).

Pemahaman mengenai pengertian evaluasi dapat berbeda-beda sesuai dengan pengertian evaluasi yang bervariatif oleh para pakar evaluasi. Menurut Stufflebeam dalam Lababa (2008), evaluasi adalah “the process of delineating, obtaining, and providing useful information for judging decision alternatives," Artinya evaluasi merupakan proses menggambarkan, memperoleh, dan menyajikan informasi yang berguna untuk merumuskan suatu alternatif keputusan. Masih dalam Lababa (2008), Worthen dan Sanders mendefenisikan “evaluasi sebagai usaha mencari sesuatu yang berharga (worth). Sesuatu yang berharga tersebut dapat berupa informasi tentang suatu program, produksi serta alternatif prosedur tertentu”. Tague-Sutclife (1996 : 1-3), mengartikan evaluasi sebagai  "a systematic process of determining the extent to which instructional objective are achieved by pupils". Evaluasi bukan sekadar menilai suatu aktivitas secara spontan dan insidental, melainkan merupakan kegiatan untuk menilai sesuatu secara terencana, sistematik, dan terarah berdasarkan tuiuan yang jelas.

Dari definisi evaluasi di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa evaluasi adalah penerapan prosedur ilmiah yang sistematis untuk menilai rancangan, selanjutnya menyajikan informasi dalam rangka pengambilan keputusan terhadap implementasi dan efektifitas suatu program. Evaluasi meliputi mengukur dan menilai yang digunakan dalam rangka pengambilan keputusan. Hubungan antara pengukuran dan penilaian saling berkaitan.

Mengukur pada hakikatnya adalah membandingkan sesuatu dengan atau atas dasar ukuran atau kriteria tertentu (meter, kilogram, takaran dan sebagainya), pengukuran bersifat kuantitatif. Penilaian berarti menilai sesuatu. Sedangkan menilai itu mengandung arti, mengambil keputusan terhadap sesuatu yang berdasarkan pada ukuran baik atau buruk, sehat atau sakit, pandai atau bodoh dan sebagainya.

Dan penilaian bersifat kualitatif. Hal ini sejalan dengan apa yang dikemukakan oleh Arikunto (2009 : 3) bahwa mengukur adalah ,membandingkan sesuatu dengan satu ukuran (bersifat kuantitatif), menilai adalah mengambil suatu keputusan terhadap sesuatu dengan ukuran baik buruk (bersifat kualitatif), dan evaluasi meliputi kedua langkah tersebut di atas. Pendapat lain mengenai evaluasi disampaikan oleh Arikunto dan Cepi (2008 : 2), bahwa:Evaluasi adalah kegiatan untuk mengumpulkan informasi tentang bekerjanya sesuatu, yang selanjutnya informasi tersebut digunakan untuk menentukan alternatif yang tepat dalam mengambil sebuah keputusan. Fungsi utama evaluasi dalam hal ini adalah menyediakan informasi-informasi yang berguna bagi pihak decision maker untuk menentukan kebijakan yang akan diambil berdasarkan evaluasi yang telah dilakukan.

 Sedangkan Uzer (2003 : 120), mengatakan bahwa: Evaluasi adalah suatu proses yang ditempuh seseorang untuk memperoleh informasi yang berguna untuk menentukan mana dari dua hal atau lebih yang merupakan alternatif yang diinginkan, karena penentuan atau keputusan semacam ini tidak diambil secara acak, maka alternatif-alternatif itu harus diberi nilai relatif, karenanya pemberian nilai itu harus memerlukan pertimbangan yang rasional berdasarkan informasi untuk proses pengambilan keputusan.

Menurut Djaali dan Pudji (2008 : 1), evaluasi dapat juga diartikan sebagai “proses menilai sesuatu berdasarkan kriteria atau tujuan yang telah ditetapkan yang selanjutnya diikuti dengan pengambilan keputusan atas obyek yang dievaluasi”. Sedangkan Ahmad(2007 : 133), mengatakan bahwa “evaluasi diartikan sebagai proses sistematis untuk menentukan nilai sesuatu (ketentuan, kegiatan, keputusan, unjuk kerja, proses, orang, obyek,dll.) berdasarkan kriteria tertentu melalui penilaian”.

Untuk menentukan nilai sesuatu dengan cara membandingkan dengan kriteria, evaluator dapat langsung membandingkan dengan kriteria namun dapat pula melakukan pengukuran terhadap sesuatu yang dievaluasi kemudian baru membandingkannya dengan kriteria. Dengan demikian evaluasi tidak selalu melalui proses mengukur baru melakukan proses menilai tetapi dapat pula evaluasi langsung melalui penilaian saja.

Hal ini sejalan dengan apa yang dikemukakan Crawford (2000 : 13), mengartikan penilaian sebagai suatu proses untuk mengetahui/menguji apakah suatu kegiatan, proses kegiatan, keluaran suatu program telah sesuai dengan tujuan atau kriteria yang telah ditentukan.

Dari pengertian-pengertian tentang evaluasi yang telah dikemukakan beberapa ahli di atas, dapat ditarik benang merah tentang evaluasi yakni evaluasi merupakan sebuah proses yang dilakukan oleh seseorang untuk melihat sejauh mana keberhasilan sebuah program. Keberhasilan program itu sendiri dapat dilihat dari dampak atau hasil yang dicapai oleh program tersebut. Karenanya, dalam keberhasilan ada dua konsep yang terdapat didalamnya yaitu efektifitas dan efisiensi. “Efektifitas merupakan perbandingan antara output dan inputnya sedangkan efisiensi adalah taraf pendayagunaan input untuk menghasilkan output lewat suatu proses” (Sudharsono dalam Lababa, 2008).

 Jadi evaluasi bukan merupakan hal baru dalam kehidupan manusia sebab hal tersebut senantiasa mengiringi kehidupan seseorang. Seorang manusia yang telah mengerjakan suatu hal, pasti akan menilai apakah yang dilakukannya tersebut telah sesuai dengan keinginannya semula.

 sumber : Universitas Sumatra Utara

Teori bilangan

BAB  I   HIMPUNAN BILANGAN ASLI

A.    Sejarah bilangan           

                 Timbulnya keinginan manusia untuk mengetahui atau manghitung banyak suatu anggota dari suatu himpunan atau kelompok benda.

      Pengertian bilangan menurut para ahli:

    1.Aristoteles

             Bilangan adalah suatu kumpulan yang di ukur dengan satuan.

    2.Thomas

             Bilangan terdiri dari satu-satuan

    3.Menurut pandangan matematika

             Bilangan adalah suatu ataksi yang kosepsi/buah pikiran manusia itu sendiri

  B. Bilangan asli

     1.Difinisi bilangan asli

         *Definisi 1

     Suatu cara untuk memperoleh bilangan asli dari satu atau beberapa bilangan asli lainnya.dinamakan operasi hitung atau pengerjaan hitung.

        *Definisi 2

                       Apabila a dan b dua bilangan asli maka dikatakan A=b.

                   Cth. A=6  dan  b=3+6 maka a dan b sama sama bilangan asli

        *Definisi 3

          Apabila a dan b dua bilangan asli sembarang dimana n(A)=a. n(B)=b, maka        a+b=n(AuB)

     Cth. A={a,b,} dan b{c,d,f} maka,a+b= {a,b,c,d,f}  

        *Definisi 4

                       Apabila a dan b bilangan asli. A dan B dua himpunan yang saling lepas,dimana n(A)=a. n(B)=b.  maka a.b=n(AoB)     n(A).n(B)=n(A.B).

Cth. A={a,b} dan b={c,d} maka n(a o b)={(a.c),(a.d),(b.c),(b,d)

        *Definisi 5

                       Apabila a dan b adalah bilangan asli,selisih adan b ditulis a-b=c . jika dan hanya jika a=b+c

      Cth. 7-4=3 karena, 7= 4+3

           

     2.Sifat sifat bilangan asli

        1.sifat perkalian

Apabila a dan b adalah bilangan asli maka a.b=b+b+…+b.  Dimana b muncul       sebanyak a kali.

Cth. 2x3=3+3+3=6

        2.sifat tertutup

         a.sifat tertutup penjumlahan

            Apabila a dan b bilangan asli maka a+b adalah bilangan asli.

Cth. 2+3=5, 5 adalah bilangan asli

         b.sifat tertutup perkalian

            apabila a dan b bilangan asli maka a.b adalah bilangan asli.

Cth. 95x95=9025  9025 adalah bilangan asli

        3.Sifat komulatif

         a.sifat komulatif penjumlahan

            Apabila a dan b adalah bilangan asli maka a+b = b+a

Cth.  1025 + 3015= 3015 + 1025=4040

        b.sifat komulatif perkalian

            Apabila a dan b adalah bilangan asli maka a.b=b.a

Cth. 10 x 30 = 30 x 10 = 300

        4.Sifat asosiatif

         a.sifat asosiatif penjumlahan

            Apabila a,b dan c adalah bilangan asli maka (a+b)+c = a+(b+c)

Cth. (7+8)+9=7+(8+9)=24

         b. Sifat asosiatif perkalian

            Apabila a,b dan c adalah bilangan asli maka (a.b).c= a.(b.c)

Cth. (4x5)x6=4x(5x6)=120

        5.Sifat distributive perkalian terhadap penjumlahan

            Apabila a,b dan c adalah bilangan asli maka a(b+c) = ab + bc

Cth. 2(3+4)=2.3+2.4=14

    3.Sifat persamaan bilangan asli

         1. sifat refleksif

            Apabila a adalah bilangan asli maka a = a.

          2. sifat simetris

            Apabila a dan b adalah bilangan asli,a = b maka b = a.

          3. sifat transitif

            Apabila a dan b adalah bilangan asli a = b, b = c, a = c

          4. sifat addiptif

             Apabila a,b dan c adalah bilangan asli a = b dan c = d maka a + c = b + d

          5. Sifat multipiklatif (perkalian)

      Apabila a,b,c dan d adalah bilangan asli a = b dan c = d maka,ac = bd

          6. Sifat subtraktif

      Apabila a,b,c dan d adalah bilangan asli a = b dan c = d maka,a – c = b - d.

          7. Sifat pembagian

      Apabila a,b,c dan d adalah bilangan asli a = b, c = d maka, a : c = b : d.

C.Himpunan bilangan bersahabat

         Apabila bilangan pertama adalah 220( faktor murni ) kemudian dijumlahkan hasilnya 284 bilangan kedua dijumlahkan hasilnya 220

Contoh:

a.       220 = 1+2+4+910+11+ 20+22+44+55+110 = 284

b.      284 = 1+2+4+71+142 = 220

BAB II

HIMPUNAN BILANGAN CACAH

A.PENGERTIAN BILANGAN CACAH

Apabila kepada himpunan bilangan asli ditambahkan satu anggota baru”nol”yang dilambangkan dengan “0”,maka terbentuklah himpunan baru,yang dinamakan bilangan cacah (cordinal number).

Himpunan bilangan cacah dilambangkan dengan :

C ={0,1,2,3,4,….}

Bilangan nol dapat didefinisikan sebagai “bilangan kardinal dari suatu himpunan kosong”, yaitu himpunan yang tidak mempunyai sama sekali anggota.Jadi  n (Q) =0

Bilangan cacah adalah bilangan yang dapat memberikan jawaban atau keterangan tentang banyaknya anggota suatu himpunan,dan bilangan ini adalah merupakan bilangan yang pertama –tama diperkenalkan kepada anak-anak pada pemulaan berhitung.

Karena himpunan bilangan asli adalah merupakan himpunan bagian dari himpunan cacah, maka semua definisi  dan sifat-sifat himpunan bilangan asli, juga berlaku untuk bilangan cacah, dengan mengganti  perkataan” bilangan asli” dengan “bilangan cacah”.

B.OPERASI PEMANGKATAN

  * Definisi 1

          Apabila a adalah suatu bilangan cacah, Maka yang dimaksudkan adalah a x a = a sebanyak a kali.

       a³ = a x a x a dimana terdapat 3 faktor a

  *Definisi 2

Apabila a dan n adalah bilangan-bilangan cacah (a≠n) maka, a adalah hasil yang diperoleh dari a menjadi faktor dikalikan sebanyak n kali.

n disebut bilangan eksponen sedangkan, a disebut bilangan dasar maka,

aⁿ dibaca “a pangkat n”

contoh:

3⁵ dibaca : “tiga pangkat lima” dimana bilangan dasarnya 3 eksponennya 5.

C. SIFAT-SIFAT PEMANGKATAN

1. Sifat 1.

  Sifat perkalian bilangan berpangkat

Apabila a bilangan cacah, a ≠ o maka a x a = a²

Contoh: a = 2 maka a x a = 2 x 2 = 2²

2. Sifat 2.

              Sifat pembagian bilangan berpangkat

                 Apabila a bilangan cacah , a ≠ o, maka a² : a = a

Contoh : a = 3 maka, 3² : 3 = 3

3. Sifat 3.

Sifat distributif pemangkatan terhadap perkalian

  Apabila a,b,dan c bilangan cacah, maka (a x b) = a x c

Contoh :  a = 2, b = 3 dan c = 3 maka (2 x 3) = 2 x 3 = 6

4. Sifat 4. 

Sifat distributif pemangkatan terhadap pembagian

  Apabila a,b, dan c bilangan-bilangan cacah, maka [a : b] = a : b

5. Sifat 5.

Sifat pemangkatan berganda

     Apabila a,b, dan c bilangan-bilangan cacah, maka [a]ⁿ = a

6. Sifat 6.

Sifat pemangkatan tunggal [a] =E X t

7. Sifat 7.

Himpunan bilangan cacah tertutup terhadap operasi pemangkatan

Contoh : 5 adalah bilangan cacah, maka 5² = 25 adalah bilangan cacah

BAB III

HIMPUNAN BILANGAN BULAT

   Berbeda dengan himpunan bilangan asli dan himpunan bilangan cacah, himpunan bilangan bulat terdiri atas sebagai berikut:

1.      Himpunan bilangan bulat positif, yaitu sama dengan himpunan bilangan asli

2.      nol

3.      Himpunan bilangan bulat negative, yaitu lawan dari himpunan bilangan positif

        *Definisi 1 :

   Apabila a dan b dua bilangan bulat, maka a dikatakan sama dengan b dituliskan “a = b”

 Contoh : a = 4, dan b = 2+2,  dimana a = b maka 4=2+2

       *Definisi 2 :

Apabila a dan b dua bilangan sembarangan A dan B 2 himpunan yang saling   lepas, dimana (A U B)

Contoh : A = (J,K,L,M), dan B = (N,O,P,Q,R) maka  a + b n (A U B)

            4+5 = (J,K,L,M,N,O,P,Q,R)

       *Definisi 3 :

      Apabila a dan b adalah bilangan-bilangan bulat A dan B 2 himpunan yang  saling lepas, dimana n (A) = a.n (B) = b, Maka a x b = n (A.B) = n (AxB)

       *Definisi 4 :

           Apabila a dan b bilangan bulat selisih antara a dan b = a-b adalah bilangan      bulat c. jika dan hanya jika a = b+c

       *Definisi 5 :

Apabila a dan b bilangan bulat, hasil bagi a : b adalah bilangan bulat c. jika dan  hanya jika a = b x c

                     Contoh :  4 : 2 = 2 karena 4 = 2 x 2

   

        *Definisi 6 :

                  Apabila a adalah bilangan bulat maka a – b = C jika dan hanya jika a = b + c

        *Definisi 7 :

          Apabila a,b dan c bilangan bulat maka a = b - c jika dan hanya jika a = b + c

       *Definisi 8 :

Apabila a dan b bilangan bulat maka a < b jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat c sedemikian sehingga a + c = b

SIFAT-SIFAT BILANGAN BULAT

1.     Sifat tertutup

Apabila a dan b bilangan-bilangan bulat, maka a + b dan a . b adalah bilangan bulat.

Contoh :  9 dan 4 adalah bilangan bulat, maka 9 + 4 = 13 adalah bilangan bulat.

2.       Sifat komunitatif penjumlahan

Apabila a dan b bilangan-bilangan bulat, maka a + b = b + a

         Sifat komunitatif perkalian

Apabila a dan b bilangan-bilangan bulat, maka a x b = b . a

Contoh : a = 6 dan b = 2 maka, 6 x 2 = 2 x 6

                                                       12 = 12

3.      Sifat asosiatif penjumlahan

Apabila a , b dan c adalah bilangan-bilangan bulat maka (a + b) + c = a + (b + c)

        Sifat Asosiatif perkalian

            Apabila a , b dan c adalah bilangan-bilangan bulat maka (a . b) . c = a (b . c)

Contoh : a = 4, b = 2 dan c = 3 maka, (4 x 2) .3 = 4 . (2 . 3)

 8 x 3  = 4 . 6

   24    = 24

4.      Sifat bilangan nol

            Jika a bilangan adalah bulat maka 0 + a = a + 0 = a

Contoh : jika a = 3 maka 3 + 0 = 3 + 0 = 3

5.      Jumlah bilangan bulat dan lawannya adalah nol

Jika a bilangan bulat maka a + (-a) = 0

Contoh : a = 2 maka, 2 + (-2) = 0

6.     Sifat kosenlansi penjumlahan

Apabila a , b dan c bilangan-bilangan bulat a + c = b + c maka a = b

7.     Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

Apabila a , b dan c bilangan-bilangan bulat maka a x (b + c) = (a . b) + (a . c)

Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan

 Apabila a , b dan c bilangan-bilangan bulat maka a x (b – a) = (ab) – (ac)

Contoh :a = 2, b = 4 dan c = 3 maka, 2 x (4 – 3) = 2.4 – 2.3

                                                               2 x 1 = 8 + 6 = 2

8.     Sifat Invers suatu penjumlahan

Apabila a dan b adalah bilangan bulat maka –(a + b) = (-a) + (-b)

Contoh : a = 9 dan b = 5 maka, -(9 + 5) = (-9) + (-5)

                                                -14 = -14

9.   Sifat-sifat pengurangan

Apabila a , b , c dan d bilangan bulat maka

a)         a – b – c – d = a – (b + c + d)

           Contoh : 9 – 1 – 2 – 3 = 9 - (1 + 2 + 3)

      8 – 2 – 3 = 9 – 6

                  3 = 3

b)    a – b + c – d = (a + c) – (b + d)

Contoh : 3 – 2 + 1 – 4 = (3 + 1) – (2 + 4)

                                      1– 3 = 4 – 6

3        = -3

9.     Sifat penjumlahan

              Apabila a , b dan c bilangan-bilangan bulat maka (a + b) – c = a + (b – c)

                     Contoh : a = 12, b = 2 dan c = 5 maka, (12 + 2) – 5 = 12 + (2 – 5)

                          14 – 5 = 12 – 3

                                     9 = 9

        URUTAN BILANGAN BULAT

Apabila himpunan – himpunan bulat dinyatakan dengan suatu garis bilangan, maka garis bilangan itu dinamakan bilangan bulat.

-3 -2 -1 0 1 2 3

1. Definisi urutan bilangan cacah

v  Definisi 1

Apabila a dan b bilangan – bilangan bulat maka a < b jika dan hanya jika dikatakan suatu bilangan bulat positif sedemikian sehingga a + c = b

Contoh :

2 + 3 = 5 dimana 2 < 5

v  Definisi 2

Apabila a , b dan c bilangan – bilangan bulat maka a dikatakan besar dari b “a > b” maka b + c = a

Contoh :

4 + 10 = 14 dimana 14 > 4

2. Sifat – sifat urutan bilangan bulat

v  Sifat 1

Apabila a adalah bilangan bulat positif atau b, dan b bilangan bulat negative, maka a > b

v  Sifat 2 (sifat trikonomi)

Apabila a dan b bilangan – bilangan bulat maka hanya berlaku satu dari 3 reaksi berikut :

1)      a < b

2)      a = b

3)      a > b

v  Sifat 3 (sifat transitif urutan)

Apabila a , b dan c bilangan – bilangan bulat maka

a). apabila a < b, b < c, maka a < c

b). apabila a > b, b > a, maka a > c

v  Sifat 4 (sifat additive urutan)

a)  a < b jika dan hanya jika a + c < b + c

b) a > b jika dan hanya jika a + c > b + c

v  Sifat 5 (sifat perkalian)

Apabila a dan b adalah bilangan – bilangan bulat dan c > c  Maka,  a > b jika dan hanya jika  a x c > b x c

v  Sifat 6

Apabila a dan b adalah bilangan – bilangan bulat dan c < 0 maka a > b jika dan, hanya jika a x c < b x c

v  Sifat 7

Apabila a dan b bilangan bulat dan c > 0 maka a > b jika dan hanya jika, A x c > b x c

v  Sifat 8

Apabila a , b dan c adalah bilangan – bilangan bulat maka (a : b) x b = c

v  Sifat 9

Apabila a , b dan c adalah bilangan bulat dan c merupakan faktor bersama dari a

dan b serta c > 0 maka a < b jika dan hanya jika a : c < b : c

v  Sifat 10

Apbila a , b dan c bilangan – bilangan bulat, dan c merupakan faktor bersama

a dan b serta c < 0 , maka a < b jika dan hanya jika a : c < b : c

v  Sifat 11

Apabila a , b dan c bilangan – bilangan bulat dan c merupakan faktor bersama

dari a dan b serta c > 0 maka a > b jika dan hanya jika a : c > b : c

v  Sifat 12

Apabila a , b dan c bilangan – bilangan cacah dan c merupakan faktor bersama

dari a dan b serta c < 0 maka a > b jika dan hanya jika a : c < b : c

v  Sifat 13

Apabila a dan b bilangan – bilangan bulat, maka:

1)      a > 0 dan b > 0 maka a + b > 0

2)      a < 0 dan b < 0 maka a + b < 0

v  Sifat 14

Apabila a dan b bilangan – bilangan bulat maka:

1)      a > 0 dan b > 0 maka a x b > 0

2)      a > 0 dan b < 0 maka a x b < 0

3)      a < 0 dan b > 0 maka a x b < 0

4)      a < 0 dan b < 0 maka a x b > 0

·         Sifat 15

 Apabila a dan b bilangan – bilangan bulat maka:

1)      a > 0 dan b > 0 maka a : b > 0

2)      a > 0 dan b < 0 maka a : b < 0

3)      a < 0 dan b > 0 maka a : b < 0

4)      a < 0 dan b < 0 maka a : b > 0

berikut materi yang dapat saya share semoga bermanfaat..................