Teori bilangan

BAB  I   HIMPUNAN BILANGAN ASLI

A.    Sejarah bilangan           

                 Timbulnya keinginan manusia untuk mengetahui atau manghitung banyak suatu anggota dari suatu himpunan atau kelompok benda.

      Pengertian bilangan menurut para ahli:

    1.Aristoteles

             Bilangan adalah suatu kumpulan yang di ukur dengan satuan.

    2.Thomas

             Bilangan terdiri dari satu-satuan

    3.Menurut pandangan matematika

             Bilangan adalah suatu ataksi yang kosepsi/buah pikiran manusia itu sendiri

  B. Bilangan asli

     1.Difinisi bilangan asli

         *Definisi 1

     Suatu cara untuk memperoleh bilangan asli dari satu atau beberapa bilangan asli lainnya.dinamakan operasi hitung atau pengerjaan hitung.

        *Definisi 2

                       Apabila a dan b dua bilangan asli maka dikatakan A=b.

                   Cth. A=6  dan  b=3+6 maka a dan b sama sama bilangan asli

        *Definisi 3

          Apabila a dan b dua bilangan asli sembarang dimana n(A)=a. n(B)=b, maka        a+b=n(AuB)

     Cth. A={a,b,} dan b{c,d,f} maka,a+b= {a,b,c,d,f}  

        *Definisi 4

                       Apabila a dan b bilangan asli. A dan B dua himpunan yang saling lepas,dimana n(A)=a. n(B)=b.  maka a.b=n(AoB)     n(A).n(B)=n(A.B).

Cth. A={a,b} dan b={c,d} maka n(a o b)={(a.c),(a.d),(b.c),(b,d)

        *Definisi 5

                       Apabila a dan b adalah bilangan asli,selisih adan b ditulis a-b=c . jika dan hanya jika a=b+c

      Cth. 7-4=3 karena, 7= 4+3

           

     2.Sifat sifat bilangan asli

        1.sifat perkalian

Apabila a dan b adalah bilangan asli maka a.b=b+b+…+b.  Dimana b muncul       sebanyak a kali.

Cth. 2x3=3+3+3=6

        2.sifat tertutup

         a.sifat tertutup penjumlahan

            Apabila a dan b bilangan asli maka a+b adalah bilangan asli.

Cth. 2+3=5, 5 adalah bilangan asli

         b.sifat tertutup perkalian

            apabila a dan b bilangan asli maka a.b adalah bilangan asli.

Cth. 95x95=9025  9025 adalah bilangan asli

        3.Sifat komulatif

         a.sifat komulatif penjumlahan

            Apabila a dan b adalah bilangan asli maka a+b = b+a

Cth.  1025 + 3015= 3015 + 1025=4040

        b.sifat komulatif perkalian

            Apabila a dan b adalah bilangan asli maka a.b=b.a

Cth. 10 x 30 = 30 x 10 = 300

        4.Sifat asosiatif

         a.sifat asosiatif penjumlahan

            Apabila a,b dan c adalah bilangan asli maka (a+b)+c = a+(b+c)

Cth. (7+8)+9=7+(8+9)=24

         b. Sifat asosiatif perkalian

            Apabila a,b dan c adalah bilangan asli maka (a.b).c= a.(b.c)

Cth. (4x5)x6=4x(5x6)=120

        5.Sifat distributive perkalian terhadap penjumlahan

            Apabila a,b dan c adalah bilangan asli maka a(b+c) = ab + bc

Cth. 2(3+4)=2.3+2.4=14

    3.Sifat persamaan bilangan asli

         1. sifat refleksif

            Apabila a adalah bilangan asli maka a = a.

          2. sifat simetris

            Apabila a dan b adalah bilangan asli,a = b maka b = a.

          3. sifat transitif

            Apabila a dan b adalah bilangan asli a = b, b = c, a = c

          4. sifat addiptif

             Apabila a,b dan c adalah bilangan asli a = b dan c = d maka a + c = b + d

          5. Sifat multipiklatif (perkalian)

      Apabila a,b,c dan d adalah bilangan asli a = b dan c = d maka,ac = bd

          6. Sifat subtraktif

      Apabila a,b,c dan d adalah bilangan asli a = b dan c = d maka,a – c = b - d.

          7. Sifat pembagian

      Apabila a,b,c dan d adalah bilangan asli a = b, c = d maka, a : c = b : d.

C.Himpunan bilangan bersahabat

         Apabila bilangan pertama adalah 220( faktor murni ) kemudian dijumlahkan hasilnya 284 bilangan kedua dijumlahkan hasilnya 220

Contoh:

a.       220 = 1+2+4+910+11+ 20+22+44+55+110 = 284

b.      284 = 1+2+4+71+142 = 220

BAB II

HIMPUNAN BILANGAN CACAH

A.PENGERTIAN BILANGAN CACAH

Apabila kepada himpunan bilangan asli ditambahkan satu anggota baru”nol”yang dilambangkan dengan “0”,maka terbentuklah himpunan baru,yang dinamakan bilangan cacah (cordinal number).

Himpunan bilangan cacah dilambangkan dengan :

C ={0,1,2,3,4,….}

Bilangan nol dapat didefinisikan sebagai “bilangan kardinal dari suatu himpunan kosong”, yaitu himpunan yang tidak mempunyai sama sekali anggota.Jadi  n (Q) =0

Bilangan cacah adalah bilangan yang dapat memberikan jawaban atau keterangan tentang banyaknya anggota suatu himpunan,dan bilangan ini adalah merupakan bilangan yang pertama –tama diperkenalkan kepada anak-anak pada pemulaan berhitung.

Karena himpunan bilangan asli adalah merupakan himpunan bagian dari himpunan cacah, maka semua definisi  dan sifat-sifat himpunan bilangan asli, juga berlaku untuk bilangan cacah, dengan mengganti  perkataan” bilangan asli” dengan “bilangan cacah”.

B.OPERASI PEMANGKATAN

  * Definisi 1

          Apabila a adalah suatu bilangan cacah, Maka yang dimaksudkan adalah a x a = a sebanyak a kali.

       a³ = a x a x a dimana terdapat 3 faktor a

  *Definisi 2

Apabila a dan n adalah bilangan-bilangan cacah (a≠n) maka, a adalah hasil yang diperoleh dari a menjadi faktor dikalikan sebanyak n kali.

n disebut bilangan eksponen sedangkan, a disebut bilangan dasar maka,

aⁿ dibaca “a pangkat n”

contoh:

3⁵ dibaca : “tiga pangkat lima” dimana bilangan dasarnya 3 eksponennya 5.

C. SIFAT-SIFAT PEMANGKATAN

1. Sifat 1.

  Sifat perkalian bilangan berpangkat

Apabila a bilangan cacah, a ≠ o maka a x a = a²

Contoh: a = 2 maka a x a = 2 x 2 = 2²

2. Sifat 2.

              Sifat pembagian bilangan berpangkat

                 Apabila a bilangan cacah , a ≠ o, maka a² : a = a

Contoh : a = 3 maka, 3² : 3 = 3

3. Sifat 3.

Sifat distributif pemangkatan terhadap perkalian

  Apabila a,b,dan c bilangan cacah, maka (a x b) = a x c

Contoh :  a = 2, b = 3 dan c = 3 maka (2 x 3) = 2 x 3 = 6

4. Sifat 4. 

Sifat distributif pemangkatan terhadap pembagian

  Apabila a,b, dan c bilangan-bilangan cacah, maka [a : b] = a : b

5. Sifat 5.

Sifat pemangkatan berganda

     Apabila a,b, dan c bilangan-bilangan cacah, maka [a]ⁿ = a

6. Sifat 6.

Sifat pemangkatan tunggal [a] =E X t

7. Sifat 7.

Himpunan bilangan cacah tertutup terhadap operasi pemangkatan

Contoh : 5 adalah bilangan cacah, maka 5² = 25 adalah bilangan cacah

BAB III

HIMPUNAN BILANGAN BULAT

   Berbeda dengan himpunan bilangan asli dan himpunan bilangan cacah, himpunan bilangan bulat terdiri atas sebagai berikut:

1.      Himpunan bilangan bulat positif, yaitu sama dengan himpunan bilangan asli

2.      nol

3.      Himpunan bilangan bulat negative, yaitu lawan dari himpunan bilangan positif

        *Definisi 1 :

   Apabila a dan b dua bilangan bulat, maka a dikatakan sama dengan b dituliskan “a = b”

 Contoh : a = 4, dan b = 2+2,  dimana a = b maka 4=2+2

       *Definisi 2 :

Apabila a dan b dua bilangan sembarangan A dan B 2 himpunan yang saling   lepas, dimana (A U B)

Contoh : A = (J,K,L,M), dan B = (N,O,P,Q,R) maka  a + b n (A U B)

            4+5 = (J,K,L,M,N,O,P,Q,R)

       *Definisi 3 :

      Apabila a dan b adalah bilangan-bilangan bulat A dan B 2 himpunan yang  saling lepas, dimana n (A) = a.n (B) = b, Maka a x b = n (A.B) = n (AxB)

       *Definisi 4 :

           Apabila a dan b bilangan bulat selisih antara a dan b = a-b adalah bilangan      bulat c. jika dan hanya jika a = b+c

       *Definisi 5 :

Apabila a dan b bilangan bulat, hasil bagi a : b adalah bilangan bulat c. jika dan  hanya jika a = b x c

                     Contoh :  4 : 2 = 2 karena 4 = 2 x 2

   

        *Definisi 6 :

                  Apabila a adalah bilangan bulat maka a – b = C jika dan hanya jika a = b + c

        *Definisi 7 :

          Apabila a,b dan c bilangan bulat maka a = b - c jika dan hanya jika a = b + c

       *Definisi 8 :

Apabila a dan b bilangan bulat maka a < b jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat c sedemikian sehingga a + c = b

SIFAT-SIFAT BILANGAN BULAT

1.     Sifat tertutup

Apabila a dan b bilangan-bilangan bulat, maka a + b dan a . b adalah bilangan bulat.

Contoh :  9 dan 4 adalah bilangan bulat, maka 9 + 4 = 13 adalah bilangan bulat.

2.       Sifat komunitatif penjumlahan

Apabila a dan b bilangan-bilangan bulat, maka a + b = b + a

         Sifat komunitatif perkalian

Apabila a dan b bilangan-bilangan bulat, maka a x b = b . a

Contoh : a = 6 dan b = 2 maka, 6 x 2 = 2 x 6

                                                       12 = 12

3.      Sifat asosiatif penjumlahan

Apabila a , b dan c adalah bilangan-bilangan bulat maka (a + b) + c = a + (b + c)

        Sifat Asosiatif perkalian

            Apabila a , b dan c adalah bilangan-bilangan bulat maka (a . b) . c = a (b . c)

Contoh : a = 4, b = 2 dan c = 3 maka, (4 x 2) .3 = 4 . (2 . 3)

 8 x 3  = 4 . 6

   24    = 24

4.      Sifat bilangan nol

            Jika a bilangan adalah bulat maka 0 + a = a + 0 = a

Contoh : jika a = 3 maka 3 + 0 = 3 + 0 = 3

5.      Jumlah bilangan bulat dan lawannya adalah nol

Jika a bilangan bulat maka a + (-a) = 0

Contoh : a = 2 maka, 2 + (-2) = 0

6.     Sifat kosenlansi penjumlahan

Apabila a , b dan c bilangan-bilangan bulat a + c = b + c maka a = b

7.     Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

Apabila a , b dan c bilangan-bilangan bulat maka a x (b + c) = (a . b) + (a . c)

Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan

 Apabila a , b dan c bilangan-bilangan bulat maka a x (b – a) = (ab) – (ac)

Contoh :a = 2, b = 4 dan c = 3 maka, 2 x (4 – 3) = 2.4 – 2.3

                                                               2 x 1 = 8 + 6 = 2

8.     Sifat Invers suatu penjumlahan

Apabila a dan b adalah bilangan bulat maka –(a + b) = (-a) + (-b)

Contoh : a = 9 dan b = 5 maka, -(9 + 5) = (-9) + (-5)

                                                -14 = -14

9.   Sifat-sifat pengurangan

Apabila a , b , c dan d bilangan bulat maka

a)         a – b – c – d = a – (b + c + d)

           Contoh : 9 – 1 – 2 – 3 = 9 - (1 + 2 + 3)

      8 – 2 – 3 = 9 – 6

                  3 = 3

b)    a – b + c – d = (a + c) – (b + d)

Contoh : 3 – 2 + 1 – 4 = (3 + 1) – (2 + 4)

                                      1– 3 = 4 – 6

3        = -3

9.     Sifat penjumlahan

              Apabila a , b dan c bilangan-bilangan bulat maka (a + b) – c = a + (b – c)

                     Contoh : a = 12, b = 2 dan c = 5 maka, (12 + 2) – 5 = 12 + (2 – 5)

                          14 – 5 = 12 – 3

                                     9 = 9

        URUTAN BILANGAN BULAT

Apabila himpunan – himpunan bulat dinyatakan dengan suatu garis bilangan, maka garis bilangan itu dinamakan bilangan bulat.

-3 -2 -1 0 1 2 3

1. Definisi urutan bilangan cacah

v  Definisi 1

Apabila a dan b bilangan – bilangan bulat maka a < b jika dan hanya jika dikatakan suatu bilangan bulat positif sedemikian sehingga a + c = b

Contoh :

2 + 3 = 5 dimana 2 < 5

v  Definisi 2

Apabila a , b dan c bilangan – bilangan bulat maka a dikatakan besar dari b “a > b” maka b + c = a

Contoh :

4 + 10 = 14 dimana 14 > 4

2. Sifat – sifat urutan bilangan bulat

v  Sifat 1

Apabila a adalah bilangan bulat positif atau b, dan b bilangan bulat negative, maka a > b

v  Sifat 2 (sifat trikonomi)

Apabila a dan b bilangan – bilangan bulat maka hanya berlaku satu dari 3 reaksi berikut :

1)      a < b

2)      a = b

3)      a > b

v  Sifat 3 (sifat transitif urutan)

Apabila a , b dan c bilangan – bilangan bulat maka

a). apabila a < b, b < c, maka a < c

b). apabila a > b, b > a, maka a > c

v  Sifat 4 (sifat additive urutan)

a)  a < b jika dan hanya jika a + c < b + c

b) a > b jika dan hanya jika a + c > b + c

v  Sifat 5 (sifat perkalian)

Apabila a dan b adalah bilangan – bilangan bulat dan c > c  Maka,  a > b jika dan hanya jika  a x c > b x c

v  Sifat 6

Apabila a dan b adalah bilangan – bilangan bulat dan c < 0 maka a > b jika dan, hanya jika a x c < b x c

v  Sifat 7

Apabila a dan b bilangan bulat dan c > 0 maka a > b jika dan hanya jika, A x c > b x c

v  Sifat 8

Apabila a , b dan c adalah bilangan – bilangan bulat maka (a : b) x b = c

v  Sifat 9

Apabila a , b dan c adalah bilangan bulat dan c merupakan faktor bersama dari a

dan b serta c > 0 maka a < b jika dan hanya jika a : c < b : c

v  Sifat 10

Apbila a , b dan c bilangan – bilangan bulat, dan c merupakan faktor bersama

a dan b serta c < 0 , maka a < b jika dan hanya jika a : c < b : c

v  Sifat 11

Apabila a , b dan c bilangan – bilangan bulat dan c merupakan faktor bersama

dari a dan b serta c > 0 maka a > b jika dan hanya jika a : c > b : c

v  Sifat 12

Apabila a , b dan c bilangan – bilangan cacah dan c merupakan faktor bersama

dari a dan b serta c < 0 maka a > b jika dan hanya jika a : c < b : c

v  Sifat 13

Apabila a dan b bilangan – bilangan bulat, maka:

1)      a > 0 dan b > 0 maka a + b > 0

2)      a < 0 dan b < 0 maka a + b < 0

v  Sifat 14

Apabila a dan b bilangan – bilangan bulat maka:

1)      a > 0 dan b > 0 maka a x b > 0

2)      a > 0 dan b < 0 maka a x b < 0

3)      a < 0 dan b > 0 maka a x b < 0

4)      a < 0 dan b < 0 maka a x b > 0

·         Sifat 15

 Apabila a dan b bilangan – bilangan bulat maka:

1)      a > 0 dan b > 0 maka a : b > 0

2)      a > 0 dan b < 0 maka a : b < 0

3)      a < 0 dan b > 0 maka a : b < 0

4)      a < 0 dan b < 0 maka a : b > 0

berikut materi yang dapat saya share semoga bermanfaat..................